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◇ 難関大受験を控え数学で悩む人たちへのメッセージ  

数学で悩む中高生のためのメッセージ 

高校数学の根底  


  『数学が出来る様になるには記憶が大切だ』と思っている人は,今すぐその考え方を捨てて下さい。『数学』という学問は,本来内部記憶が要らない学問なのです。定義,公理から始まり定理の証明が延々と続いて閉じたれた矛盾の無い体系を作って行くのが数学という学問です。

 ですから,記憶に大部分を頼るという数学の勉強法は,数学の特性に反しているわけです。この様な勉強方法を採用すると,受験までに膨大な数の問題を解かなければなりません。本屋さんで,代表的といわれる受験数学の参考書を1冊手にとって見て下さい。例題,問,演習問題と莫大な量の問題が収められています。これが少なくても3冊,多ければ6冊もあるのです。これらに収録されている問題を全てやったとします。それでも,必ず出来る様になるとは限らないという例を沢山見てきました。

『問題は提供しましたよ。これだけやって出来る様にならないのは貴方の責任ですよ,もっと沢山の問題を解きましょう。兎に角数をこなす事が大切なのですよ。』と言っているのです。これでは勉強法とは言えないでしょう。しかもこの方法に犯されると,なかなか抜け出せないのです。

 『この様にすれば必ず力が付き,視野が広げられ,問題解決の能力が向上する』というのが勉強法でしよう。現実は,そうではないのです。この様になる理由は,1ページに1問の問題と解答を詰め込んでそれをひたすら解いて行く形になっていて,基本的で重要な定理の証明,どうしてその様な解法採れば良いのか,どの部分に引っかかればその様な考え方が出来るのかなど最も重要な事柄に関する記述が軽視されているからです。

それに反して,『数学』本来の特性に適した学習法を採用すれば,先程の参考書の 1/3 程度の問題数でゆるぎない実力が身に付けられます。その方法とは,『教科書に出ている定理は全て自力で証明出来る様にする』という勉強法です。

 この方法は,大変なのではと思う人もいるでしょうが,そうではありません。難関大で合否を左右する問題は,発想力と論証力を問う問題です。定理を証明する事で,当然論証力は付きますし,定理の証明に用いた考え方,証明の仕方そのものや定理の意味が発想力の元になるのですから,発想力も身に付きます。

どうすれば学力が付くのかという事を徹底して考えていないで記憶に頼るという,腑抜けた勉強法は捨ててしまいましょう。本当に力が付くと約束された方法で,受験までに『高校数学+α』を身に付け一段高い位置から受験数学を見える様にしましょう。そうする事で,沢山の分野に分かれている様に見える受験数学は,本当は数少ない幾つかの分野に再編成出来る事が分かり,非常に見通し良く勉強出来る様になります。

 もう一つ大切な事があります。それは,数学をふんだんに使う科学についてです。科学は色々な自然現象を説明します。例えば,大粒の雨に当たっても人間はなぜ怪我をしないのか?なぜ動物は感電死する事があるのか?なぜ月は地球に落ちて来ないのか?なぜ細胞分裂が起こるのか?なぜ人は思考出来るのか?などなど,沢山有ります。

科学の1つの分野である物理では数学を多用します。生物や化学でも分析的な分野では本当に行き着く所は,物理です。物理を使わない生物,化学の分野は限られています。この物理は,数学と付かず離れずの関係で発展して来ました(数学と物理が遊離した時期も何度かありましたが)。微分積分という分野(数学Ⅱで学びます)は,実は物体の運動をきちんと説明しようとして,ライプニッツとニュートンにより独立に作り上げられました。これは,現在では解析学という大変大きな分野に発展して,現実に沢山応用されています(交通渋滞の理論,生物の繁殖の理論,人工透析の理論など数限りなくあります)。

つまり,数学は不条理なまでに自然を説明するのです(理由は皆さんも考えて見ましょう,すぐには結論は出ないと思いますが)。 このようなことを頭の隅に置いていて下さい。すると,自然に色々な事に興味が湧いてきて,視野が広がると思います。視野を広げる事で,学力の幅が広がり,深さが深まります。

最後に一言付け加えます。文系的な事理系的な事に限らず色々な事に興味を持ってそれを探求するという姿勢を貫いて下さい。色々な面で数学は役に立ってくれます。ただし,数学に拠り所を持つ自然科学は物事の一面しか捉えられないという事は肝に銘じておいて下さい。科学的に説明できない事もあるのです。そこさえはずさなければ,数学に立脚する自然科学は非常に役に立つ面白いものです。こういう面白さを味わうためにもしっかりした,本当の数学を身に付け受験数学もものにしてしましょう。(by 萩原)

 

数学で悩む最難関学受験生へのメッセージ 

東大,京大,医大数学  

 東大,京大,阪大,東京工大,京都府立医大の問題を解いた経験があると思います。これらの大学で合否を決める問題を分析すると,発想力が問われ,論証能力が問われる問題が大部分を占めています。

現在の高校や大手予備校では,論証能力を余りに軽視し過ぎています。発想力についてはお手上げ状態に近いと言えます。共通一次試験が実施されて数年経ってから特に目に付く事は,答えが合っていれば満点が与えられると思っている受験生が大幅に増えた事です。

実際に入試数学の答案を採点する現場では,答えが合っているかどうかよりも途中の論理に破綻が無いかどうかの方が重く見られます。つまり,計算ミスをして答えを間違えたが途中の論理には破綻が無い場合殆ど減点はありません。

ところが,逆に答えは合っているけれども途中の論証があいまいであったり破綻している答案はほぼ0点です。採点の現場では,こうであるにも拘らず答え重視の教育がまかり通っています。途中(プロセス)が大事なのです。受験数学と言えども“数学”ですから,数学という学問の特性に合った教え方・学び方をしなければならないはずです。数学という学問の特徴を良く考えてみて下さい。

 数学という学問は,内部記憶の要らない学問で,現実に合っていようとそうでなかろうと,数学の内部で『矛盾』が無ければ良いのです(勿論どれかの数学の体系[例:ユークリッド幾何学など]を矛盾を含まない体系として選んで,それと構造が同じだという意味で矛盾がないという事ですが)。 つまり,論理が命なのです。

この論証力を身に付けるには,証明出来ない定理は使わない。使う定理は全て自力で証明するという勉強方法を採用する事です。このような勉強をすれば,当然論証力は身に付きますし,定理の証明で使った方法やその定理から直接得られる定理(これも証明しますが)発想力の元になるのです。

上述の大学に出題される問題で最も重要でありながら,蔑ろにされている2つの事が定理を証明する事で身に付くのです。

とは言え,受験直前の皆さんにはとてもそんな時間は無いと思うので,重要な定理,高校では出て来ないけれども使うと便利な定理,問題の背景をなしていて問題の理解と解決に役立つ定理の証明は是非やっておきましょう。これをしっかりやった上で,数学の問題を解くのに大切な40項目ほどの考え方をマスターすれば十分です。

答えが合っていれば良いという負抜(ふぬ)けた数学学習とオサラバして,本当の数学をやりながら(これが最も能率が良い[数学という学問の特性に合致しています]のですが)上記の大学合格に十分な力を養いましょう。

皆さんの強い決意と実行力にその目的に適したテキストが有れば,簡単な事ではありませんが,必ず成し遂げられます。

      

数学で悩む大学受験生へのメッセージ   

東大、京大、医学部受験数学  


「なぜキミは数学ができないのでしょうか?授業もそれなりにまじめにきいているし、一応宿題もやっている。それどころか、塾や予備校でにまで通って習っているのに、一向に力がついている気がしないし、実際に成績も上がらない。

少し前の分野になると、ほとんど記憶に残っていない。だから、定期試験は一夜漬けで何とかこなしても、実力テストになると、散々な結果になってしまう。たとえ難関高校に通っていても、それを感じている人も多いはずです。

時間を使って努力をしているつもりなのに、それに相応する結果が出ないとしたら、やはり習得の仕方や取り組み方に問題があります。たとえば、整数問題は苦手ではありませんか?手間のかかる、場合の数を正確に求めるのは?ベクトル方程式を見て、イメージと明快に結びつきますか?分野を横断するような、融合問題や、着想を必要とする問題になると、途端に手が出なくなりませんか?

それぞれを克服しようとすれば、それぞれに合った方法で習得していかなくてはなりません。しかもそのときの理解や、反復演習も、効果を意識した方法で取り組まないと定着はしていきません。

一読してわからなかったときに、自分には無理とあきらめたり、まわりに助けを求めるタイミングが早すぎないですか?最初の読み込みが不足してないですか?そもそも自分の頭で、読んで理解するということを意識的に行ったことがありますか?自分はなぜ意味を取れないのでしょうか?

これまで、応用問題で、複雑な文意を理解しなくてはならない厄介な時に、結局誰か(母、先生)に常に噛み砕いてきてもらってきたのではなかったでしょうか?では自分の力で読み解けるようになり、それによって効果的に定着をさせるにはこれからどうすればよいのでしょう?

この教室では、以上のようなことを意識し、数学が得意になるための方法を、きめこまかく、具体的に伝えたいと思います。 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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